微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int d t}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{t + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{t}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{t}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{t}$ 。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

解题步骤 3.2

将 $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t^{2}$ ， $d v = e^{t}$ 。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

解题步骤 7.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t}$ 。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

解题步骤 7.5

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

解题步骤 7.6

将 $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ 重写为 $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

解题步骤 8

将 $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 中的每一项除以 $e^{t}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ 中的每一项都除以 $e^{t}$ 。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 2 t$ 除以 $1$ 。

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3.1.3

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.1

约去公因数。

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$

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