微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{r}$ 。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

解题步骤 1.2.2

约去 $r$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- \frac{1}{r}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

解题步骤 1.2.2.2

从 $r \tan (θ)$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{r}$ 对 $r$ 的积分为 $\ln (| r |)$ 。

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

解题步骤 2.3.2

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的积分为 $\ln (| \sec (θ) |)$ 。

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

解题步骤 3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

解题步骤 3.4

要求解 $r$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

解题步骤 3.6

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $| r \sec (θ) | = e^{C}$ 。

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

解题步骤 3.6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

解题步骤 3.6.3

将 $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ 中的每一项除以 $\sec (θ)$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ 中的每一项都除以 $\sec (θ)$ 。

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $\sec (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $r$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

解题步骤 3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.3.1

分离分数。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

解题步骤 3.6.3.3.2

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.6.3.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

解题步骤 3.6.3.3.4

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

解题步骤 3.6.3.3.5

用 $\pm e^{C}$ 除以 $1$ 。

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

解题步骤 3.6.3.3.6

将 $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ 中的因式重新排序。

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

解题步骤 4

化简积分常数。

$r = \cos (θ) C$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $π$ 代入 $θ$ ，将 $2$ 代入 $r$ ，在 $r = \cos (θ) C$ 中求 $C$ 的值。

$2 = \cos (π) C$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\cos (π) C = 2$ 。

$\cos (π) C = 2$

解题步骤 6.2

将 $\cos (π) C = 2$ 中的每一项除以 $\cos (π)$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\cos (π) C = 2$ 中的每一项都除以 $\cos (π)$ 。

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $\cos (π)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

分离分数。

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\frac{1}{\cos (π)}$ 转换成 $\sec (π)$ 。

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

解题步骤 6.2.3.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$C = 2 \sec (π)$

解题步骤 6.2.3.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$C = 2 (- \sec (0))$

解题步骤 6.2.3.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.3.6

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$C = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$C = - 2$

解题步骤 7

代入 $- 2$ 替换 $r = \cos (θ) C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 2$ 替换 $C$ 。

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

解题步骤 7.2

将 $- 2$ 移到 $\cos (θ)$ 的左侧。

$r = - 2 \cos (θ)$

微积分学 示例

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