微积分学示例

$2 x d y + 3 y d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3 y d x$ 。

$2 x d y = - 3 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 3.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

解题步骤 3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ 。

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

将 $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ 中的每一项除以 ${| x |}^{3}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ 中的每一项都除以 ${| x |}^{3}$ 。

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 ${| x |}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 5.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

解题步骤 5.5.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ 重写为 ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1.1

从 $e^{C}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

解题步骤 5.5.4.1.2

从 ${| x |}^{3}$ 中因式分解出完全幂数 ${| x |}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

解题步骤 5.5.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.3

将 $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.4

合并。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.5

将 $\sqrt{e^{C}}$ 乘以 $1$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.6

将 $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.4.7.1

将 $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

解题步骤 5.5.4.7.2

移动 $\sqrt{| x |}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

解题步骤 5.5.4.7.3

对 $\sqrt{| x |}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

解题步骤 5.5.4.7.4

对 $\sqrt{| x |}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

解题步骤 5.5.4.7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.4.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.7.7

将 ${\sqrt{| x |}}^{2}$ 重写为 $| x |$ 。

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解题步骤 5.5.4.7.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{| x |}$ 重写成 ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.7.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.4.7.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.7.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.7.7.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.7.7.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

解题步骤 5.5.4.7.7.5

化简。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

解题步骤 5.5.4.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

解题步骤 5.5.4.9

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

解题步骤 5.5.4.10

化简分母。

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解题步骤 5.5.4.10.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

解题步骤 5.5.4.10.2

从绝对值中去掉非负项。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。