微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $V + 1 + V^{2} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $1 + V^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + V^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.4

约去 $1 + V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ 对 $V$ 的积分为 $\arctan (V) + C_{1}$ 。

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $V$ 。

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $\tan (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$

微积分学 示例

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