微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

解题步骤 1.4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

解题步骤 1.4.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.4.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.5.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.6.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.6.1.1

约去公因数。

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6.1.2

用 $(A) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6.2

运用分配律。

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6.3

将 $- 2$ 移到 $A$ 的左侧。

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6.4

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.6.4.1

约去公因数。

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.1.6.4.2

用 $(B) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

解题步骤 2.3.1.1.6.5

运用分配律。

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.1.6.6

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

解题步骤 2.3.1.1.7

移动 $- 2 A$ 。

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

解题步骤 2.3.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = - 2 A + 2 B$

解题步骤 2.3.1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

解题步骤 2.3.1.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1.3.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

解题步骤 2.3.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $- 1 = - 2 A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1

化简 $- 2 (1 - B) + 2 B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.2

将 $2 B$ 和 $2 B$ 相加。

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3

在 $- 1 = - 2 + 4 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.3.1

将方程重写为 $- 2 + 4 B = - 1$ 。

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3

将 $4 B = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.1

将 $4 B = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.4.1

使用 $\frac{1}{4}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.4.2.1

化简 $1 - (\frac{1}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.5

列出所有解。

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x + 2}$ 。

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

解题步骤 2.3.1.5.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x - 2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = x + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 2.3.4.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.4.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

解题步骤 2.3.7

使 $u_{3} = x - 2$ 。然后使 $d u_{3} = d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u_{3} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.3.7.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.7.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.10.1

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.10.2

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\ln (| x + 2 |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

解题步骤 3.1.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (| x - 2 |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

解题步骤 3.2

将 $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ 中的每一项乘以 $4$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ 中的每一项乘以 $4$ 。

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $4$ 移到 $\ln (| y + 1 |)$ 的左侧。

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

约去公因数。

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

重写表达式。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.3.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

约去公因数。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

重写表达式。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $4 \ln (| y + 1 |)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (| y + 1 |)$ 。

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

解题步骤 3.3.1.2

去掉 ${| y + 1 |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

化简 $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x + 2 |)$ 。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

解题步骤 3.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

解题步骤 3.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

解题步骤 3.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

解题步骤 3.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

解题步骤 3.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ 。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

解题步骤 3.9.2

两边同时乘以 ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ 。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

解题步骤 3.9.3

化简。

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解题步骤 3.9.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.1.1

约去 ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

解题步骤 3.9.3.1.1.2

重写表达式。

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

解题步骤 3.9.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.9.3.2.1

去掉圆括号。

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

解题步骤 3.9.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9.4.2

化简 $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ 。

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解题步骤 3.9.4.2.1

将 $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ 重写为 ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ 。

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解题步骤 3.9.4.2.1.1

将 $e^{4 C}$ 重写为 ${(e^{C})}^{4}$ 。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9.4.2.1.2

添加圆括号。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

解题步骤 3.9.4.2.2

从根式下提出各项。

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.9.4.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9.4.3.2

将 $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ 中的因式重新排序。

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

解题步骤 3.9.4.3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

解题步骤 3.9.4.3.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

解题步骤 3.9.4.3.5

将 $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ 中的因式重新排序。

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

解题步骤 3.9.4.3.6

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

解题步骤 3.9.4.3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

微积分学 示例

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