微积分学示例

$(x^{2} y^{3} + y + x - 2) d x + (x^{3} y^{2} + x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{2} y^{3} + y + x - 2$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + y + x - 2]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x^{2} y^{3} + y + x - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2} y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.4.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 1.4.3

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + 0$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

将 $3 x^{2} y^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $3 x^{2} y^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2} + x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{3} y^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + 1$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x^{2} y^{2} + 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x^{2} y^{2} + 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} + x d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} d y + \int x d y$

解题步骤 5.2

由于 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x^{3}$ 移到积分外。

$f (x, y) = x^{3} \int y^{2} d y + \int x d y$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x d y$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x y + C$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = x^{3} (\frac{y^{3}}{3} + C) + x y + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + C$

解题步骤 5.7

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.3

因为 $\frac{y^{3}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3} y^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.5

组合 $3$ 和 $\frac{y^{3}}{3}$ 。

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.6

组合 $\frac{3 y^{3}}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.3.7.2

用 $y^{3} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.4

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 8.4.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y^{3} x^{2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{3} x^{2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.4.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.5

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 8.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x^{2} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $y^{3} x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2}$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

解题步骤 9.1.3

合并 $x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.3.1

按照 $x^{2} y^{3}$ 和 $- y^{3} x^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x^{2} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

解题步骤 9.1.3.2

从 $y^{3} x^{2}$ 中减去 $y^{3} x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 + 0 - y$

解题步骤 9.1.3.3

将 $y + x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 - y$

解题步骤 9.1.3.4

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x - 2 + 0$

解题步骤 9.1.3.5

将 $x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x - 2$

解题步骤 10

求 $x - 2$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = x - 2$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x - 2 d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x - 2 d x$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x d x + \int - 2 d x$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

解题步骤 10.5

应用常数不变法则。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

解题步骤 10.6

化简。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$

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