微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = - π \sin (π θ)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d r = - π \sin (π θ) d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d r = \int - π \sin (π θ) d θ$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$r + C_{1} = \int - π \sin (π θ) d θ$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $- π$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- π$ 移到积分外。

$r + C_{1} = - π \int \sin (π θ) d θ$

解题步骤 2.3.2

使 $u = π θ$ 。然后使 $d u = π d θ$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

设 $u = π θ$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

对 $π θ$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $π$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $π θ$ 对 $θ$ 的导数是 $π \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$r + C_{1} = - π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$r + C_{1} = - π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$r + C_{1} = - π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $π$ 。

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $π$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$r + C_{1} = - 1 \cdot 1 \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$r + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

化简。

$r + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $\cos (u)$ 乘以 $1$ 。

$r + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $π θ$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r + C_{1} = \cos (π θ) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$r = \cos (π θ) + K$

微积分学 示例

微积分学示例