微积分学示例

$(e^{2 x} y^{2} - 2 x) d x + e^{2 x} (y d) y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{2 x} y^{2} - 2 x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $e^{2 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{2 x} y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

解题步骤 1.4

因为 $- 2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2 e^{2 x} y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y$

解题步骤 1.5.2

将 $2 e^{2 x} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{2 x} y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$

解题步骤 2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{2 x} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.4.3

化简表达式。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2$ 移到 $y e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot (y e^{2 x})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

重新排序 $2 y e^{2 x}$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

解题步骤 2.5.2

将 $2 e^{2 x} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y e^{2 x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 y e^{2 x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = e^{2 x} y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $e^{2 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $e^{2 x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 5.3

化简答案。

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解题步骤 5.3.1

将 $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.3.3

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.3

因为 $\frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 8.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.10

组合 $\frac{2 y^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.11.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.3.11.2

用 $y^{2} e^{2 x}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x$

解题步骤 9.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.2.1

从等式两边同时减去 $y^{2} e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.2.2

合并 $y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $y^{2} e^{2 x}$ 中减去 $y^{2} e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

解题步骤 9.1.2.2.2

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

解题步骤 10

求 $- 2 x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - 2 x d x$

解题步骤 10.3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$g (x) = - 2 \int x d x$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 10.5

化简答案。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2

化简。

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解题步骤 10.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$g (x) = - x^{2} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - x^{2} + C$

解题步骤 12.1.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$

解题步骤 12.2

将 $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - x^{2} + C$

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