微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 1.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 1.2.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $y^{2} x$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $3 x^{2} y + K y = - 1$ 。

$3 x^{2} y + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $3 x^{2} y + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $3 x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $y (3 x^{2}) + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $y (3 x^{2} + K) = - 1$ 中的每一项除以 $3 x^{2} + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $y (3 x^{2} + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $3 x^{2} + K$ 。

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $3 x^{2} + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $\frac{1}{25}$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ 中求 $K$ 的值。

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3 + K, 25$

解题步骤 5.3.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 5.3.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 5.3.4

$25$ 具有因式 $5$ 和 $5$ 。

$5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25$

解题步骤 5.3.6

$3 + K$ 的因式是 $3 + K$ 本身。

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 5.3.7

$3 + K$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$3 + K$

解题步骤 5.3.8

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$25 (3 + K)$

解题步骤 5.4

将 $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ 中的每一项乘以 $25 (3 + K)$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ 中的每一项乘以 $25 (3 + K)$ 。

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $3 + K$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{3 + K}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.2.1.2

从 $25 (3 + K)$ 中分解出因数 $3 + K$ 。

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.2.1.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.2.1.4

重写表达式。

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去公因数。

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

解题步骤 5.4.3.1.2

重写表达式。

$- 25 = 3 + K$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $3 + K = - 25$ 。

$3 + K = - 25$

解题步骤 5.5.2

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$K = - 25 - 3$

解题步骤 5.5.2.2

从 $- 25$ 中减去 $3$ 。

$K = - 28$

解题步骤 6

代入 $- 28$ 替换 $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $- 28$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$

微积分学 示例

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