微积分学示例

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

解题步骤 2.4

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

解题步骤 2.6

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{3}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

解题步骤 2.8

合并分数。

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解题步骤 2.8.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

解题步骤 2.8.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

解题步骤 2.8.3

组合 $\frac{- 3}{x}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

解题步骤 2.8.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{2}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- \frac{3 y^{2}}{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{3 y^{2}}{x}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $y^{2}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $y^{2}$ 替换 $N$ 。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- \frac{3 y^{2}}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- \frac{3 y^{2}}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.4.3

约去公因数。

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.4.4

重写表达式。

$\frac{- 3}{x}$

解题步骤 5.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 6.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

解题步骤 6.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

解题步骤 7

在 $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

要将 $- x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.2

组合 $- x^{2}$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.4

将 $- x^{3}$ 重写为 ${(- x)}^{3}$ 。

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.5

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = - x$ 和 $b = y$ 。

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.6

化简。

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解题步骤 7.4.4.6.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.6.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.4.6.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.6

合并。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.7.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.8

将 $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.9

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.10

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.11

从 $- (x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.12

将 $- (x + y)$ 重写为 $- 1 (x + y)$ 。

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 7.14

将 $y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.15

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $\frac{1}{x^{3}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{3}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 重写为 $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.3

将 $3$ 乘以 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.4

组合 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $\frac{y^{3}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 12.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{y^{3}}{3}$ 。

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.9

组合 $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.11.1

从 $- 3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.11.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ 。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.3.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.3.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.6.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.2.6.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3

合并 $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.1.3.3.1

按照 $- x^{2} y$ 和 $y x^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3.2

将 $- x^{2} y$ 和 $x^{2} y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3.3

将 $x^{3} + x y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3.4

按照 $x y^{2}$ 和 $- y^{2} x$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3.5

从 $y^{2} x$ 中减去 $y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.3.6

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

合并 $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.1.4.1

将 $- y^{3}$ 和 $y^{3}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.5

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.5.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.1.5.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

解题步骤 13.1.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

解题步骤 13.1.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

解题步骤 13.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 14

求 $- \frac{1}{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 14.5

化简。

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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