微积分学示例

$y \cdot \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1

重写该方程。

$y \cdot d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$