微积分学示例

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2000$ 对于 $q$ 是常数，所以将 $2000$ 移到积分外。

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 300 q$ 。然后使 $d u = 300 d q$ ，以便 $\frac{1}{300} d u = d q$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 300 q$ 。求 $\frac{d u}{d q}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $300 q$ 求导。

$\frac{d}{d q} [300 q]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $300$ 对于 $q$ 是常数，所以 $300 q$ 对 $q$ 的导数是 $300 \frac{d}{d q} [q]$ 。

$300 \frac{d}{d q} [q]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$300 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $300$ 乘以 $1$ 。

$300$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{300}$ 。

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $300$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{300}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{300}$ 移到积分外。

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{300}$ 和 $2000$ 。

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $2000$ 和 $300$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $2000$ 中分解出因数 $100$ 。

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $300$ 中分解出因数 $100$ 。

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $\frac{20}{3}$ 和 $2$ 。

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $300 q$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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