微积分学示例

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x + y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 1.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 1.4.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 1.4.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

解题步骤 1.4.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

解题步骤 1.4.6

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

解题步骤 1.5

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $e^{x + y} - 2 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.6

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $e^{x + y} - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- 2 + e^{x + y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $e^{x + y} - 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

解题步骤 5.2

使 $u = x + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

设 $u = x + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $x + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 5.2.1.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.2.1.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

解题步骤 5.3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

解题步骤 5.5

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

解题步骤 5.7

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.3.6

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.5

因为 $4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.6

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.7.1

将 $e^{x + y} - 2 y$ 和 $0$ 相加。

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 8.7.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

解题步骤 9.1.3

合并 $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

将 $- 2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

解题步骤 9.1.3.2

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

解题步骤 9.1.3.3

从 $e^{x + y}$ 中减去 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

解题步骤 9.1.3.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

解题步骤 10

求 $3 x^{2}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 10.3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 10.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 。

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 10.5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 10.5.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.2.1

约去公因数。

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2

重写表达式。

$g (x) = 1 x^{3} + C$

解题步骤 10.5.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = x^{3} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例