微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ 和 $y (1) = - 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4

从 $2 x^{2} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 (x^{2}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 4

由于 $y$ 在初始条件 $(1, - 3)$ 中为负，所以只考虑用 $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ 来求 $K$ 。将 $1$ 代入 $x$ ，将 $- 3$ 代入 $y$ 。

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ 。

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

解题步骤 5.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ 重写成 ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

运用分配律。

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.2

对 $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.4

将 ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.5

将 ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.3.5.2.1

约去公因数。

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.5.2.2

重写表达式。

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.4

化简。

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 + 2 K = 9$

解题步骤 5.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.4.1

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.1.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 K = 9 - 2$

解题步骤 5.4.1.2

从 $9$ 中减去 $2$ 。

$2 K = 7$

解题步骤 5.4.2

将 $2 K = 7$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $2 K = 7$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{7}{2}$

解题步骤 6

代入 $\frac{7}{2}$ 替换 $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $\frac{7}{2}$ 替换 $K$ 。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

解题步骤 6.2

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

解题步骤 6.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

解题步骤 6.5

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

解题步骤 6.6

组合 $2$ 和 $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ 。

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

解题步骤 6.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.7.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

约去公因数。

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

解题步骤 6.7.1.2

重写表达式。

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

解题步骤 6.7.2

用 $2 x^{2} + 7$ 除以 $1$ 。

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$

微积分学 示例

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