微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (x^{3} + 2) y^{3}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{3} + 2) y^{3})$

解题步骤 1.2

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(x^{3} + 2) y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{3} + 2$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{3}} d y = (x^{3} + 2) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 3} d y = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y^{2}, 4, 1, 1$

解题步骤 3.2.2

由于 $2 y^{2}, 4, 1, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $2, 4, 1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $y^{2}$ 的最小公倍数。

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 3.2.5

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.6

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.7

$2, 4, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 3.2.9

$y^{2}$ 的因数为 $y \cdot y$ ，即 $y$ 连续相乘 $2$ 次。

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 3.2.10

$y^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y \cdot y$

解题步骤 3.2.11

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2}$

解题步骤 3.2.12

$2 y^{2}, 4, 1, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $4$ 乘以变量部分。

$4 y^{2}$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ 中的每一项乘以 $4 y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ 中的每一项乘以 $4 y^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2)) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} \cdot 2) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.2.1.4

重写表达式。

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

约去公因数。

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

重写表达式。

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 \cdot 4 x y^{2} + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + K (4 y^{2})$

解题步骤 3.3.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$ 。

$x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

解题步骤 3.4.2

从 $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $x^{4} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} x^{4} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

解题步骤 3.4.2.2

从 $8 x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + 4 K y^{2} = - 2$

解题步骤 3.4.2.3

从 $4 K y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

解题步骤 3.4.2.4

从 $y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

解题步骤 3.4.2.5

从 $y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$

解题步骤 3.4.3

将 $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ 中的每一项除以 $x^{4} + 8 x + 4 K$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ 中的每一项都除以 $x^{4} + 8 x + 4 K$ 。

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $x^{4} + 8 x + 4 K$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

解题步骤 3.4.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

解题步骤 3.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。