微积分学示例

$(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ 中的每一项除以 $8 + x^{12}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ 中的每一项都除以 $8 + x^{12}$ 。

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $8 + x^{12}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{8 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分母。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + x^{12}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $x^{12}$ 重写为 ${(x^{4})}^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + {(x^{4})}^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x^{4}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (2^{2} - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

解题步骤 1.1.3.2.4

化简。

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解题步骤 1.1.3.2.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

解题步骤 1.1.3.2.4.2

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.3.2.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{4 \cdot 2})}$

解题步骤 1.1.3.2.4.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

解题步骤 1.1.3.3

合并分数。

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解题步骤 1.1.3.3.1

合并。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $x^{11}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

合并。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

解题步骤 1.4.3

将 $x^{11}$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y d y = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{\sqrt{u_{1}}}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ 重写为 ${u_{1}}^{5}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $10$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.4

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{4}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2}{1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.3.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ 重写为 ${u_{1}}^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{8}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{4}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.4.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $\frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4}) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.6

将 $2$ 移到 $(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{2 (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 2.3.4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{\sqrt{u_{2}}}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 重写为 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

将 ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 重写为 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.4

将 $2$ 移到 $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

使 $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ 。然后使 $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.8.1

设 $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.8.1.1

对 $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})]$

解题步骤 2.3.8.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2}) g (u_{2})]$ 等于 $f (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [g (u_{2})] + g (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2})]$ ，其中 $f (u_{2}) = 2 + u_{2}$ 且 $g (u_{2}) = 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ 。

$(2 + u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}] + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.8.1.3.1

根据加法法则， $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ 。

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.2

因为 $4$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $4$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$(2 + u_{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}]$ 相加。

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- 2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.8

根据加法法则， $2 + u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

解题步骤 2.3.8.1.3.9

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

解题步骤 2.3.8.1.3.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 相加。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

解题步骤 2.3.8.1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 1$

解题步骤 2.3.8.1.3.12

将 $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.8.1.4.1

运用分配律。

$(2 + u_{2}) \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.2

运用分配律。

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.3

运用分配律。

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4

合并项。

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解题步骤 2.3.8.1.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.2

将 $- 2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- 4 - 2 \cdot u_{2} + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.4

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.5

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{1 + 1} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.8

将 $- 2 u_{2}$ 和 $4 u_{2}$ 相加。

$- 4 + 2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.9

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 0 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.10

将 $2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.11

从 $2 u_{2}$ 中减去 $2 u_{2}$ 。

$2 {u_{2}}^{2} + 0 + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.12

将 $2 {u_{2}}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.1.4.4.13

将 $2 {u_{2}}^{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 相加。

$3 {u_{2}}^{2}$

解题步骤 2.3.8.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{3} d u_{3}$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $\frac{1}{u_{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 3} d u_{3}$

解题步骤 2.3.9.2

将 $3$ 移到 $u_{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{3 u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.10

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.11.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.12

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{3} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.13

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.14.1

使用 $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.14.2

使用 ${u_{1}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.14.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{2 \cdot 2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{2 \cdot 2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

将 ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{2 \cdot 2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{4}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{2 \cdot 4}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 2 \cdot 4 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.4.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.3

将 $4$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 \cdot x^{4} + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4} x^{4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.4.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 (x^{4} x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4 + 4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.5.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4} x^{8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.4.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4 + 8} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4.6.2

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5

合并 $8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.5.1

将 $- 4 x^{4}$ 和 $4 x^{4}$ 相加。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} + 0 - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5.2

将 $8 + 2 x^{8}$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5.3

从 $2 x^{8}$ 中减去 $2 x^{8}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 0 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5.4

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.6

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $\ln (| 8 + x^{12} |)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $12$ 移到 $C$ 的左侧。

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 3.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 3.4.3.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 3.4.4

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 3.4.5

将 $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$

微积分学 示例

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