微积分学示例

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ 中的每一项除以 $6 x - 2 x y$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ 中的每一项都除以 $6 x - 2 x y$ 。

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $6 x - 2 x y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d x}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

从 $6 x - 2 x y$ 中分解出因数 $2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

解题步骤 1.1.3.1.1.3

从 $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $2 x$ 。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{3 - y}$ 。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

解题步骤 1.4.2

约去 $2 x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使 $u = 3 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 3 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.2

将分数分解成多个分数。

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $3 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

解题步骤 3.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

解题步骤 3.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

解题步骤 3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

微积分学 示例

微积分学示例