微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} e^{- y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (5 x^{4} e^{- y})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{e^{- y}} (x^{4} e^{- y})$

解题步骤 1.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{- y}} (x^{4} e^{- y})$

解题步骤 1.2.3

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $x^{4} e^{- y}$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{- y}} (e^{- y} x^{4})$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{- y}} (e^{- y} x^{4})$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 5 x^{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{y} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{y} d y = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int 5 x^{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = 5 \int x^{4} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ 重写为 $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{y} + C_{1} = 1 x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} + C_{1} = x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = x^{5} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{5} + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (x^{5} + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (x^{5} + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (x^{5} + K)$

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