微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4.2

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 2.3.4.2.2.3

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 2.3.4.2.2.4

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

解题步骤 2.3.4.2.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简答案。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (x)$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

组合 $\frac{\ln (x)}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$

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