微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

解题步骤 2.5

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

解题步骤 2.5.2

从 $- 3 r e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

解题步骤 2.5.4

从 $2 e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

解题步骤 2.5.5

从 $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

解题步骤 2.6

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 2 - 4 x^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $r$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 3.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 3.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$

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