微积分学示例

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $7 - 3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 9 y^{2} + 4 x y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 3 y^{2}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $- 9 y^{2} + 4 x y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 替换 $M$ 。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $- 3 y^{2}$ 和 $9 y^{2}$ 相加。

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $6 y^{2} - 4 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $6 y^{2}$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.3

从 $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.3

从 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $- 3 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $2 y (3 y - 2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $y^{2} (2 x - 3 y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $3 y - 2 x$ 和 $2 x - 3 y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $3 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.3

从 $- (- 3 y) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $- (- 3 y + 2 x)$ 重写为 $- 1 (- 3 y + 2 x)$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.5

重新排序项。

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.6

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

解题步骤 4.3.5.7

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.3.7

代入 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $- 3 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

用 $2 x - 3 y$ 除以 $1$ 。

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $7 - 3 x y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $7 - 3 x y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = 2 x - 3 y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

解题步骤 8.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

解题步骤 8.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

解题步骤 8.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

解题步骤 8.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

解题步骤 8.6

化简。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.2

求微分。

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解题步骤 11.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 y x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.2.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- 3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3 y x$ 对 $y$ 的导数是 $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

从 $0$ 中减去 $3 x$ 。

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

解题步骤 12.1.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.1

分解分数 $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

解题步骤 12.1.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

解题步骤 12.1.2.2.2

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

解题步骤 12.1.3

合并 $\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

解题步骤 12.1.3.2

将 $\frac{7}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

解题步骤 13

求 $\frac{7}{y^{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.3

由于 $7$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 13.4

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

解题步骤 13.5

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

解题步骤 13.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

解题步骤 13.6

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

解题步骤 13.7

化简答案。

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解题步骤 13.7.1

将 $7 (- y^{- 1} + C)$ 重写为 $7 (- \frac{1}{y}) + C$ 。

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

解题步骤 13.7.2

化简。

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解题步骤 13.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

解题步骤 13.7.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

解题步骤 13.7.2.3

将负号移到分数的前面。

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$

微积分学 示例

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