微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 2 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 2 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $2 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $2 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $2 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ 。

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

解题步骤 4.2.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

解题步骤 4.2.4.2

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

解题步骤 4.2.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

解题步骤 4.2.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{5} + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $\frac{16}{5}$ 。

$K = - \frac{16}{5}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{16}{5}$ 替换 $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{16}{5}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用二项式定理。

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.6

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.8

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.9

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.10

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.11

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.11.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.12

将 ${(x^{2})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.2.12.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.1.2

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.1.3

约去公因数。

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.1.4

重写表达式。

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $16$ 。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $80 x^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.3.2

约去公因数。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.3.3

重写表达式。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $80 x^{4}$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.4.2

约去公因数。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.4.3

重写表达式。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.5

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.5.1

从 $40 x^{6}$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.5.2

约去公因数。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.5.3

重写表达式。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.6

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.6.1

从 $10 x^{8}$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.2.4.7

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $x^{10}$ 。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

解题步骤 5.3

合并 $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.1

在公分母上合并分子。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

解题步骤 5.3.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.3

用 $0$ 除以 $5$ 。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

解题步骤 5.3.4

将 $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ 和 $0$ 相加。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$

微积分学 示例

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