微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1 + y^{2}}{y}$ 。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\frac{y}{1 + y^{2}}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

解题步骤 1.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $y \cos (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

解题步骤 1.3.3.2

约去公因数。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

解题步骤 1.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.3

约去公因数。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.4

重写表达式。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.5

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.7

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ 中求 $C$ 的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ 。

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\sin (0) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1.1

一的任意次幂都为一。

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.3.1.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

解题步骤 4.3.1.1.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$C = \frac{1}{2} + 0$

解题步骤 4.3.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$C = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

代入 $\frac{1}{2}$ 替换 $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{1}{2}$ 替换 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

微积分学 示例

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