微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

解题步骤 1.2

将 $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

解题步骤 1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

解题步骤 1.4.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

解题步骤 1.5

从 $\frac{- 4 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

解题步骤 1.6

将 $y$ 和 $\frac{- 4}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{- 4}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{- 4}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 2.2.3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 4 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 4})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 4}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{4}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{4}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.5

乘以 $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $\frac{4 y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.5.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.5.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.5.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.5.2.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{x^{4}}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 7.3.2

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.3.3

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.3.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 7.4

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 7.5

化简答案。

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解题步骤 7.5.1

化简。

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解题步骤 7.5.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 7.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 7.5.2

化简。

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

解题步骤 7.5.3

化简。

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解题步骤 7.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 7.5.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 8.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{2}{3 x^{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

解题步骤 8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

解题步骤 8.1.3

组合 $\frac{1}{x^{4}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

解题步骤 8.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{2}{3 x^{3}}$ 。

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

解题步骤 8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x^{4}$ 。

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

解题步骤 8.4.2.1.4

将 $\frac{2 x}{3}$ 和 $C x^{4}$ 重新排序。

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $10$ 代入 $y$ ，在 $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ 中求 $C$ 的值。

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ 。

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

解题步骤 10.2

化简 $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

解题步骤 10.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

解题步骤 10.2.2.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$C + \frac{2}{3} = 10$

解题步骤 10.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{2}{3}$ 。

$C = 10 - \frac{2}{3}$

解题步骤 10.3.2

要将 $10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 10.3.3

组合 $10$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 10.3.4

在公分母上合并分子。

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

解题步骤 10.3.5

化简分子。

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解题步骤 10.3.5.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$C = \frac{30 - 2}{3}$

解题步骤 10.3.5.2

从 $30$ 中减去 $2$ 。

$C = \frac{28}{3}$

解题步骤 11

代入 $\frac{28}{3}$ 替换 $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $\frac{28}{3}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{28}{3}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$

微积分学 示例

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