微积分学示例

$x (y d) x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 1.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

解题步骤 1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.4

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

解题步骤 2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x = 2 x$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x = 2 x$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 x - x}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x y$ 替换 $M$ 。

$\frac{2 x - x}{x y}$

解题步骤 4.3.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x}{x y}$

解题步骤 4.3.3

代入 $x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x}{x y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

解题步骤 5.2

化简答案。

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解题步骤 5.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | y | + C$

解题步骤 6

在 $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x y$ 乘以 $y$ 。

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $y$ 。

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 $y$ 。

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

解题步骤 6.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = x y^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $\frac{y^{2}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.3.3

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.2

组合 $\frac{y^{2}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.3

因为 $\frac{x^{2}}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.6

组合 $\frac{2 x^{2}}{2}$ 和 $y$ 。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.7.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.3.7.2

用 $x^{2} y$ 除以 $1$ 。

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

解题步骤 12.1.2

合并 $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $x^{2} y$ 中减去 $x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

解题步骤 13

求 $y^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int y^{3} d y$

解题步骤 13.3

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{y^{2}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$

微积分学 示例

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