微积分学示例

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ 中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{\int \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sec (x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1

分离分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.3

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.4

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.5

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.7

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.9

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ 中的因式重新排序。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

解题步骤 8

将 $\sec (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项除以 $\sec (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sec (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.1

约去公因数。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.5.2

重写表达式。

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.6

分离分数。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

解题步骤 8.3.1.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

解题步骤 8.3.1.9

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

解题步骤 8.3.1.10

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = \sin (x) + C \cos (x)$

微积分学 示例

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