微积分学示例

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

解题步骤 1.2

因为 $e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 对 $y$ 的导数是 $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $y^{3} + x y^{3} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 1.5

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 1.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 1.8

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

解题步骤 1.9

将 $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

解题步骤 1.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

解题步骤 1.10.2

将 $3$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

解题步骤 1.10.3

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $x e^{x} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.5.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

解题步骤 2.5.4

将 $x e^{x} + e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $3 (x e^{x} - 6)$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3 (x e^{x} - 6)$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 5.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 重写为 $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ 。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

解题步骤 5.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

重新排序项。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

解题步骤 5.3.3.2

去掉圆括号。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.2

因为 $\frac{y^{3}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ 。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.3

根据加法法则， $3 x e^{x} - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.8

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.9

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.10

将 $3 (x e^{x} + e^{x})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.11

组合 $3$ 和 $\frac{y^{3}}{3}$ 。

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.12

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.12.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.3.12.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.1

运用分配律。

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

将 $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

解题步骤 9.1.2

化简 $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 9.1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

解题步骤 9.1.2.2.2

将 $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

解题步骤 9.1.3

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

从等式两边同时减去 $y^{3} x e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

解题步骤 9.1.3.2

从等式两边同时减去 $y^{3} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

解题步骤 9.1.3.3

合并 $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.3.1

按照 $x y^{3} e^{x}$ 和 $- y^{3} x e^{x}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

解题步骤 9.1.3.3.2

从 $e^{x} y^{3} x$ 中减去 $e^{x} y^{3} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

解题步骤 9.1.3.3.3

将 $y^{3} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

解题步骤 9.1.3.3.4

从 $y^{3} e^{x}$ 中减去 $y^{3} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

解题步骤 9.1.3.3.5

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

解题步骤 10

求 $e^{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int e^{x} d x$

解题步骤 10.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = e^{x} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.2.1

从 $3 x e^{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.3.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.3.2

约去公因数。

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.3.3

重写表达式。

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.1.4

运用分配律。

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

解题步骤 12.2

将 $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

微积分学 示例

微积分学示例