微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{2} + y^{2}) + 1 + x^{2}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x^{2} + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1))$

解题步骤 1.3

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ 中分解出因数 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

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