微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2}$ 重写为 $(7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x})$ 。

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{x} e^{- x} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

移动 $e^{- x}$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 (e^{- x} e^{x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{- x + x} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{0} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

化简 $7 \cdot - 5 e^{0}$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.7

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.9

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.9.1

移动 $e^{x}$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{x - x} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.9.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{0} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.10

化简 $- 5 \cdot 7 e^{0}$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.11

将 $- 5$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.12

使用乘法的交换性质重写。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.13

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.13.1

移动 $e^{- x}$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 (e^{- x} e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- x - x} d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.13.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.14

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 + 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 35$ 中减去 $35$ 。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 70 + 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $49$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.5

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $49$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.9

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \int 25 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.10

由于 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.3.11

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.11.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.11.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.3.11.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.11.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 2.3.11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.12

化简。

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解题步骤 2.3.12.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.12.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.13

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 2.3.14

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 25 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.15

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 25 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.16

化简。

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解题步骤 2.3.16.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 25$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \frac{- 25}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.16.2

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{25}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.17

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{25}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

解题步骤 2.3.18

化简。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 70 x - \frac{25}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

解题步骤 2.3.19

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.19.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{25}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

解题步骤 2.3.19.2

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{25}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

解题步骤 2.3.20

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{25}{2} e^{- 2 x} - 70 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{25}{2} e^{- 2 x} - 70 x + K$

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