微积分学示例

$x (y^{2} - 1) d y + y (x^{2} - 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y (x^{2} - 1) d x$ 。

$x (y^{2} - 1) d y = - y (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{x y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5.3

约去公因数。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5.4

重写表达式。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

解题步骤 3.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

解题步骤 3.8.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

解题步骤 3.8.3

约去公因数。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

解题步骤 3.8.4

重写表达式。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

解题步骤 3.9

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 3.9.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

将 $y$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.8.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9

将 $- 1 y$ 和 $y$ 相加。

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.10

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.11

用 $y^{2} - 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

解题步骤 4.2.11.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

解题步骤 4.2.11.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.2.11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.2.11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 4.2.11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

解题步骤 4.2.11.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.13

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.14

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.15

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.16

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 4.3.5.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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