微积分学示例

$\frac{x d y}{d x} = (3 x - y)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d y}{d x} = (3 x - y)$

解题步骤 1.2

将 $x \frac{d y}{d x} = 3 x - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 3 x - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2.3.1.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = 3 + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $- V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

解题步骤 6.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{3 - 2 V}$ 。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.4

约去 $3 - 2 V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u = 3 - 2 V$ 。然后使 $d u = - 2 d V$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = 3 - 2 V$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $3 - 2 V$ 求导。

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $3 - 2 V$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ 。

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

因为 $3$ 对于 $V$ 是常数，所以 $3$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $V$ 是常数，所以 $- 2 V$ 对 $V$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

化简。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

使用 $3 - 2 V$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\ln (| 3 - 2 V |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

将 $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.4

重写表达式。

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.3

乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.2

将 $\ln (| 3 - 2 V |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

解题步骤 6.3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

解题步骤 6.3.4

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.1

化简 $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 6.3.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

解题步骤 6.3.4.1.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

解题步骤 6.3.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

解题步骤 6.3.4.1.3

将 $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

解题步骤 6.3.5

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

解题步骤 6.3.6

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

解题步骤 6.3.7

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.7.1

将方程重写为 $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 。

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

解题步骤 6.3.7.2

将 $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.7.2.1

将 $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.7.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.7.2.2.1.2

用 $| 3 - 2 V |$ 除以 $1$ 。

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.7.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.7.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

解题步骤 6.3.7.5

将 $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.7.5.1

将 $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.7.5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.2.1.2

用 $V$ 除以 $1$ 。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.7.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.7.5.3.1.1

化简 $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ 。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

化简 $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1

组合 $C$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.3

合并。

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.4

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.5

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 8.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

解题步骤 8.2.2.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

解题步骤 8.2.2.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

解题步骤 8.2.2.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

解题步骤 8.2.2.1.2.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

解题步骤 8.2.2.1.2.4

将 $\frac{C}{2 x}$ 和 $\frac{3 x}{2}$ 重新排序。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$

微积分学 示例

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