微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

解题步骤 1.3.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $\sin (x)$ 和 $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ 重新排序。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

解题步骤 1.3.2.2

添加圆括号。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

解题步骤 1.3.2.3

将 $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

解题步骤 1.3.2.4

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

解题步骤 2.3.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $2 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去公因数。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

解题步骤 2.3.3.2.4

重写表达式。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

解题步骤 2.3.3.2.5

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

解题步骤 2.3.5

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

约去公因数。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

重写表达式。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{y^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

移动 $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot \ln (| y |)$ 重写为 $- \ln (| y |)$ 。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.5

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

解题步骤 3.1.3.1.6

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$

微积分学 示例

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