微积分学示例

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ 中的每一项都除以 $\cot (x)$ 。

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 1.2

约去 $\cot (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $\frac{- 2}{\cot (x)}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{- 2}{\cot (x)}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

解题步骤 2.2.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

解题步骤 2.2.4.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

解题步骤 2.2.4.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

解题步骤 2.2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2.5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec^{- 2} (x)$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

解题步骤 2.9

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

解题步骤 2.10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

${(1 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 2.11

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

分离分数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.5

化简。

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解题步骤 3.2.5.1

重写表达式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.5.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

从 $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.7.2

约去公因数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.7.3

重写表达式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.8

组合 $\frac{- 2}{1}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.9

组合 $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.2.10

用 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

解题步骤 3.3

分离分数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

解题步骤 3.4

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

解题步骤 3.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.6

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

重写表达式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 3.8

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.9

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.1

从 $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.9.2

约去公因数。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.9.3

重写表达式。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{5}{1}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{5 \cos (x)}{1}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

解题步骤 3.12

用 $5 \cos (x) \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 3.13

将 $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 7.2

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 7.2.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

解题步骤 7.5

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ 。

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

解题步骤 7.6.2

化简。

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解题步骤 7.6.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

解题步骤 7.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

解题步骤 7.7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 8

将 $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ 中的每一项除以 $\cos^{2} (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ 中的每一项都除以 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $- \frac{5}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

乘以 $1$ 。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

解题步骤 8.3.1.3

分离分数。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

解题步骤 8.3.1.5

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$

微积分学 示例

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