微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{1 - y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 1 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 1 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ 重写为 $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ 。

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $1 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将负号移到分数的前面。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ 。

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用分配律。

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

运用分配律。

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

乘以 $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.2

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.3

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

乘以 $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.3

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

乘以 $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.2

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.3

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

乘以 $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.3

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.4

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.5

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $\frac{x K}{4}$ 和 $\frac{K x}{4}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $K$ 重新排序。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $\frac{K x}{4}$ 和 $\frac{K x}{4}$ 相加。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

解题步骤 3.4.2

将 $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

移动 $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ 重写为 $- \frac{x^{2}}{4}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

移动 $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4

将 $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ 重写为 $- \frac{K x}{2}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.5

移动 $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.6

将 $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ 重写为 $- \frac{K^{2}}{4}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.7

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$

微积分学 示例

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