微积分学示例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

解题步骤 1.2

将 $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

从 $\frac{y}{x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$e^{\arctan (x) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\arctan (x)}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{\arctan (x)}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{\arctan (x)}$ 。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 和 $y$ 。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.2

组合 $e^{\arctan (x)}$ 和 $\frac{y}{x^{2} + 1}$ 。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3

要将 $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

从 $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ 中分解出因数 $e^{\arctan (x)}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $e^{\arctan (x)}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $e^{\arctan (x)} y$ 中分解出因数 $e^{\arctan (x)}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ 中分解出因数 $e^{\arctan (x)}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.6

组合 $e^{\arctan (x)}$ 和 $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

使 $u = \arctan (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ ，以便 $(x^{2} + 1) d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1.1

设 $u = \arctan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

对 $\arctan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 7.1.1.2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 7.1.1.3

重新排序项。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 7.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

解题步骤 7.3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

解题步骤 7.4

化简。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

解题步骤 7.5

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

解题步骤 8

将 $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ 中的每一项除以 $e^{\arctan (x)}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ 中的每一项都除以 $e^{\arctan (x)}$ 。

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{\arctan (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{\arctan (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $\arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{\arctan (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

微积分学 示例

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