微积分学示例

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ 对 $t$ 的积分为 $\arctan (t) + C_{2}$ 。

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.5

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$

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