微积分学示例

$\frac{d N}{d t} = r N$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{N}$ 。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (r N)$

解题步骤 1.2

约去 $N$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $r N$ 中分解出因数 $N$ 。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N r)$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N r)$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = r$

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = r$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{N} d N = r d t$

$\frac{1}{N} d N = r d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{N} d N = \int r d t$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{N}$ 对 $N$ 的积分为 $\ln (| N |)$ 。

$\ln (| N |) + C_{1} = \int r d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\ln (| N |) + C_{1} = r t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| N |) = r t + C$

$\ln (| N |) = r t + C$

解题步骤 3

求解 $N$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $N$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| N |)} = e^{r t + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| N |) = r t + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{r t + C} = | N |$

解题步骤 3.3

求解 $N$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| N | = e^{r t + C}$ 。

$| N | = e^{r t + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$N = \pm e^{r t + C}$

$N = \pm e^{r t + C}$

$N = \pm e^{r t + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{r t + C}$ 重写为 $e^{r t} e^{C}$ 。

$N = \pm e^{r t} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{r t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$N = \pm e^{C} e^{r t}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$N = C e^{r t}$

$N = C e^{r t}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$