微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x$

解题步骤 1.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

化简。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.5.2

化简。

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解题步骤 3.3.5.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{12} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{12} x^{4} + C x + D$

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