微积分学示例

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

解题步骤 1

重写微分方程。

$y'' + 25 y = 0$

解题步骤 2

求 $y'$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

解题步骤 2.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

因为 $A$ 对于 $x$ 是常数，所以 $A \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 。

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.6

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2.7

将 $5$ 移到 $A$ 的左侧。

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $B$ 对于 $x$ 是常数，所以 $B \cos (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 。

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 2.3.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 2.3.3.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 2.3.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

解题步骤 2.3.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

解题步骤 2.3.4

重新排序项。

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

解题步骤 3

求 $y''$ 。

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解题步骤 3.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ 。

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $5 A$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 A \cos (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 。

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.3.7

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 5 B$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 B \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.4.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.4.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

解题步骤 3.4.6

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

解题步骤 3.4.7

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

解题步骤 4

代入给定的微分方程。

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

解题步骤 5.2

合并 $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 25 A \sin (5 x)$ 和 $25 A \sin (5 x)$ 相加。

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $- 25 B \cos (5 x)$ 和 $0$ 相加。

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

解题步骤 5.2.3

将 $- 25 B \cos (5 x)$ 和 $25 B \cos (5 x)$ 相加。

$0 = 0$

解题步骤 6

给定的解满足给定微分方程。

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ 是 $y'' + 25 y = 0$ 的解

微积分学 示例

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