微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ 和 $y (e) = - 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \ln (| x |) + C$

$y = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $e$ 代入 $x$ ，将 $- 2$ 代入 $y$ ，在 $y = \ln (| x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$- 2 = \ln (| e |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\ln (| e |) + C = - 2$ 。

$\ln (| e |) + C = - 2$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (e) + C = - 2$

解题步骤 4.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$1 + C = - 2$

$1 + C = - 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$C = - 2 - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$C = - 3$

$C = - 3$

$C = - 3$

解题步骤 5

代入 $- 3$ 替换 $y = \ln (| x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 3$ 替换 $C$ 。

$y = \ln (| x |) - 3$

$y = \ln (| x |) - 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$