微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

解题步骤 2.3.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

解题步骤 2.3.5

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec (x)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(0, - 3)$ 中为负，所以只考虑用 $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $x$ ，将 $- 3$ 代入 $y$ 。

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ 。

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ 重写成 ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

对 $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.4

将 ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.5

将 ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.2.5.2.1

约去公因数。

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.5.2.2

重写表达式。

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3

化简。

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + K = 9$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 9 - 1$

解题步骤 6.4.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$K = 8$

解题步骤 7

代入 $8$ 替换 $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $8$ 替换 $K$ 。

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$

微积分学 示例

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