微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = t + 1$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = t + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $t + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$

微积分学 示例

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