微积分学示例

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 2 d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{2 t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{2 t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{2 t}$ 。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $e^{2 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $e^{t}$ 。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

解题步骤 2.4.3

将 $t$ 和 $2 t$ 相加。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

解题步骤 2.5

将 $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

解题步骤 6.2

使 $u = 3 t$ 。然后使 $d u = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u = 3 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 6.2.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 6.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 6.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

约去公因数。

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.5.2.2

重写表达式。

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 6.5.3

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

解题步骤 6.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

解题步骤 6.7

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

解题步骤 7

将 $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 t}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 t}$ 。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{2 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $e^{3 t}$ 和 $e^{2 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $e^{3 t}$ 中分解出因数 $e^{2 t}$ 。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.1.2.4

用 $e^{t}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 中求 $C$ 的值。

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ 。

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

解题步骤 9.2.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + \frac{C}{1} = 3$

解题步骤 9.2.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$1 + C = 3$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$C = 3 - 1$

解题步骤 9.3.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$C = 2$

解题步骤 10

代入 $2$ 替换 $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $2$ 替换 $C$ 。

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$

微积分学 示例

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