微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 3 x + 4$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 3 x + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $3 x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\cos (u)$ 。

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $3 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$

微积分学 示例

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