微积分学示例

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

解题步骤 1

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $(1 + x^{2}) y$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

解题步骤 2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

解题步骤 2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $(1 + x^{2}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 3.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

解题步骤 4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ 。

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

解题步骤 4.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

将 $e^{\arctan (x) + C}$ 重写为 $e^{\arctan (x)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

解题步骤 5.2

将 $e^{\arctan (x)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\arctan (x)}$

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