微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sec (x)$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \tan (x) d x}$

解题步骤 1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sec (x))}$

解题步骤 1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec (x)$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sec (x)$

解题步骤 2.2

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec (x)$

解题步骤 2.2.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = {\sec (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.3

将 $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$ 中的因式重新排序。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

解题步骤 7

将 $\sec (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项除以 $\sec (x)$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $\sec (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.5.1

约去公因数。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.5.2

重写表达式。

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.6

分离分数。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

解题步骤 7.3.1.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

解题步骤 7.3.1.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

解题步骤 7.3.1.9

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

解题步骤 7.3.1.10

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = \sin (x) + C \cos (x)$

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