微积分学示例

$(x - 2 y + 5) d x - (2 (x - 2 y) + 9) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x - 2 y + 5$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y + 5]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x - 2 y + 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.4

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

解题步骤 1.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 (x - 2 y) + 9)]$

解题步骤 2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + 2 (- 2 y) + 9)]$

解题步骤 2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x - 4 y + 9)]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 x - 4 y + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $2 x - 4 y + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.8

因为 $- 4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 = - 2$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- 2 = - 2$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - (2 (x - 2 y) + 9) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int 2 (x - 2 y) + 9 d y$

解题步骤 5.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = - (\int 2 (x - 2 y) d y + \int 9 d y)$

解题步骤 5.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (2 \int x - 2 y d y + \int 9 d y)$

解题步骤 5.4

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = - (2 (\int x d y + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

解题步骤 5.5

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - (2 (x y + C + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

解题步骤 5.6

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 \int y d y) + \int 9 d y)$

解题步骤 5.7

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + \int 9 d y)$

解题步骤 5.8

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + 9 y + C)$

解题步骤 5.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)) + 9 y + C)$

解题步骤 5.10

化简。

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y + 5$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y]$ 。

$- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $2 x y - 2 y^{2} + 9 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]$ 。

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.3

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.5

因为 $- 2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (2 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.6

因为 $9 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (2 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- (2 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.8

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.9

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.3.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y + 5$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5 + 2 y$

解题步骤 9.1.2

合并 $x - 2 y + 5 + 2 y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

将 $- 2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 5$

解题步骤 9.1.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x + 5$

解题步骤 10

求 $x + 5$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = x + 5$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 5 d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x + 5 d x$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x d x + \int 5 d x$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 5 d x$

解题步骤 10.5

应用常数不变法则。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 5 x + C$

解题步骤 10.6

化简。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 12

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

运用分配律。

$f (x, y) = - (2 x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 12.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = - 2 (x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 12.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 12.2.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - 9 y + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = - 2 x y + 2 y^{2} - 9 y + \frac{x^{2}}{2} + 5 x + C$

微积分学 示例

微积分学示例