微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 1 y + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

解题步骤 1.2.4

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{- y + 2}$ 。

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

解题步骤 1.4

约去 $- y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = - y + 2$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = - y + 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $- y + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\ln (| - y + 2 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.5

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

解题步骤 3.1.3.1.6

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ 。

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

解题步骤 3.4.4

将 $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

要将 $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.2

要将 $\frac{- 2}{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1$ 的形式。

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解题步骤 3.4.4.3.3.1

将 $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.3

将 $\frac{- 2}{- 1}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

解题步骤 3.4.4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.5.1

将 $- 1$ 移到 $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ 的左侧。

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5.2

将 $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ 重写为 $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ 。

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.5.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

解题步骤 3.4.4.3.6

用 $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ 除以 $1$ 。

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

解题步骤 4.2

将 $e^{- x^{2} + x + C}$ 重写为 $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ 。

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

解题步骤 4.3

将 $e^{- x^{2} + x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$

微积分学 示例

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