微积分学示例

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x (1 - y)}$ 。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y (1 + y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $y$ 和 $\frac{1}{1 - y}$ 。

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.3

将 $\frac{y}{1 - y}$ 乘以 $1 + y$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $x (1 - y)$ 中分解出因数 $1 - y$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $(1 - x^{2}) (1 - y)$ 中分解出因数 $1 - y$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 3.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

将 $y$ 和 $y^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

将 $1$ 和 $- y$ 重新排序。

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.9

用 $y^{2} + y$ 除以 $- y + 1$ 。

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解题步骤 4.2.9.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

解题步骤 4.2.9.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $- y$ 。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

解题步骤 4.2.9.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

解题步骤 4.2.9.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} - y$ 中的所有符号

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

解题步骤 4.2.9.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

解题步骤 4.2.9.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

解题步骤 4.2.9.7

将被除数中的最高阶项 $2 y$ 除以除数中的最高阶项 $- y$ 。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

解题步骤 4.2.9.8

将新的商式项乘以除数。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

解题步骤 4.2.9.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 y - 2$ 中的所有符号

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

解题步骤 4.2.9.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

解题步骤 4.2.9.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.10

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.11

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.12

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.13

应用常数不变法则。

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.15

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.16

使 $u = - y + 1$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.16.1

设 $u = - y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.16.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.2.16.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2.16.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.17

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.18

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.19

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.20

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.21

化简。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.2.22

使用 $- y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 4.3.4.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 4.3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 4.3.4.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 4.3.5

提取负因数。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

解题步骤 4.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3.10

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3.11

化简表达式。

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解题步骤 4.3.11.1

从 $0$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3.11.2

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.12

用 $- x^{2} + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.12.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 4.3.12.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 4.3.12.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.3.12.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.3.12.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 4.3.12.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 4.3.12.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.13

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.14

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.15

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.16

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.3.17

化简。

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解题步骤 4.3.17.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.3.17.2

化简。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

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