微积分学示例

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $x y d x$ 。

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(1 + x^{2}) y$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

解题步骤 3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $(1 + x^{2}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.1.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 4.3.1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 4.3.1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 4.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.6

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 1 + x^{2} |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

解题步骤 5.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.3

要将 $\ln (| y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.4

化简项。

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解题步骤 5.4.1

组合 $\ln (| y |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.5

将 $2$ 移到 $\ln (| y |)$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.6

化简左边。

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解题步骤 5.6.1

化简 $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.6.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

解题步骤 5.6.1.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

解题步骤 5.6.1.2

将 $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

解题步骤 5.6.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ 。

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 5.6.1.4

对 $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 5.6.1.5

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.5.1

将 ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.6.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 5.6.1.5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 5.6.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 5.6.1.5.2

化简。

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 5.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

解题步骤 5.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.1

将方程重写为 $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ 。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

解题步骤 5.9.2

两边同时乘以 ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.3

化简左边。

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解题步骤 5.9.3.1

约去 ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.3.1.2

重写表达式。

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

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